Question

已知函數f(x)=x³-ax-1.

(1)若f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（2）是否存在實數a,使f(x)在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；

（3）證明：f(x)=x³-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方.

Answer 1

（1）a≤0（2）存在實數a≥3,使f(x)在（-1，1）上單調遞減（3）證明見解析

解析:

（1）由已知f′(x)=3x²-a,

∵f(x)在（-∞,+∞）上是單調增函數，

∴f′(x)=3x²-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，

即a≤3x²對x∈R恒成立.

∵3x²≥0,∴只需a≤0,

又a=0時，f′(x)=3x²≥0,

故f(x)=x³-1在R上是增函數，則a≤0.

（2）  由f′(x)=3x²-a≤0在(-1,1)上恒成立，

得a≥3x²,x∈(-1,1)恒成立.

∵-1＜x＜1,∴3x²＜3,∴只需a≥3.

當a=3時，f′(x)=3(x²-1),

在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,

即f(x)在（-1，1）上為減函數，∴a≥3.

故存在實數a≥3,使f(x)在（-1，1）上單調遞減.

（3）  ∵f(-1)=a-2＜a,

∴f(x)的圖象不可能總在直線y=a的上方.