Question

函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+c，過曲線y=f(x)上的點P（1，f(1)）的切線方程為y=3x+1；
（1）若y=f(x)在x=-2時有極值，求f(x)的表達式；
（2）在（1）的條件下，求y=f(x)在[-3，1]上的最大值；
（3）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由，
求導數(shù)，得，
過y=f(x)上點 P（1，f(1)）的切線方程為，
即，
而過y=f(x)上點P（1，f(1)）的切線方程為y=3x+1，
故，即，
∵y=f(x)在x=-2時有極值，
故=0，∴-4a+b=-12， ③
由①②③式，聯(lián)立解得a=2，b=-4，c=5，
∴。
（2），
見下表：

∴，
，
∴f(x)在[-3，1]上最大值為13。
（3）y=f(x)在區(qū)間 [-2，1]上單調(diào)遞增，
又，由（1）知2a+b=0，
∴ 依題意在[-2，1]上恒有，即在[-2，1]上恒成立，
①當時，，∴b≥6；
②當時，，∴；
③當時，，∴0≤b≤6；
綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b≥0。