Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C₁和圓弧C₂相接而成，兩相接點M，N均在直線x＝5上.圓弧C₁的圓心是坐標原點O，半徑為13；圓弧C₂過點A(29,0).

(1)求圓弧C₂的方程.

(2)曲線C上是否存在點P，滿足PA＝PO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由.

(3)已知直線l：x－my－14＝0與曲線C交于E，F兩點，當EF＝33時，求坐標原點O到直線l的距離.

Answer 1

(1)圓弧C₁所在圓的方程為x²＋y²＝169，令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12).

則線段AM中垂線的方程為y－6＝2(x－17)，令y＝0，得圓弧C₂所在圓的圓心為O₂(14,0)，

又圓弧C₂所在圓的半徑為r₂＝29－14＝15，所以圓弧C₂的方程為(x－14)²＋y²＝225(5≤x≤29).

(2)假設存在這樣的點P(x，y)，則由PA＝PO，得x²＋y²＋2x－29＝0，

由，解得x＝－70(舍去)

由，解得x＝0(舍去)，

綜上知，這樣的點P不存在.

(3)因為EF＞2r₂，EF＞2r₁，所以E，F兩點分別在兩個圓弧上.設點O到直線l的距離為d，因為直線l恒過圓弧C₂所在圓的圓心(14,0)，所以EF＝15＋＋，即＋＝18，解得d²＝，所以點O到直線l的距離為.