Question

直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內，AC，BC與平面α分別成30°，45°的角，若S_△ABC=10，則△ABC在平面α內的射影構成的三角形的面積為

 

．

Answer 1

分析：過點C作CH⊥平面α，設CH=h，用h表示三角形ABC的邊AB、AC、BC、ABC的斜邊AB上的高為x，求出角三角形ABC與平面α成的角為β的正弦值，從而求出β的余弦值，β的余弦值等于射影面積比上直角三角形ABC的面積．

解答：解：過點C作CH⊥平面α，設CH=h，∵AC，BC與平面α分別成30°，45°的角，
∴BC=

2

h，AC=2h，AB=

6

h，∵直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內，
S_△=

1

2

BC•AC=10，∴h=

5 2

，設直角三角形ABC的斜邊AB上的高為x，
由面積法可求 x=

2

3

15 2

，設直角三角形ABC與平面α成的角為β，
sinβ=

h

x

=

3

2

，∴β=60⁰，cos60⁰=

1

2

=

S′′

S△ABC

=

S′

10

，
∴S^′=5，即△ABC在平面α內的射影構成的三角形的面積為5；
故答案為5．

點評：本題考查直線與平面所成的角，三角形ABC與平面α成的角余弦值等于射影面積比上直角三角形ABC的面積．