Question

某企業生產A，B兩種產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2（注：利潤和投資單位：萬元）．

（1）分別將A、B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
（2）已知該企業已籌集到18萬元投資金，并將全部投入A，B兩種產品的生產．
    ①若平均投入生產兩種產品，可獲得多少利潤？
    ②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）設出函數解析式，根據圖象f（1）=0.25，g（4）=4，即可求得結論；
（2）①利用（1）的結論，可得總利潤；②確定總利潤函數，換元，利用配方法，可求最值．

解答：解：（1）設甲、乙兩種產品分別投資x萬元（x≥0），所獲利潤分別為f（x）、g（x）萬元，
由題意可設f（x）=k₁x，g（x）=k₂

x

，
∴根據圖象f（1）=0.25，g（4）=4
∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=2

x

（x≥0）．…2′
（2）①由（1）得f（9）=2.25，g（9）=2

9

=6，∴總利潤y=8.25（萬元）．….4′
②設B產品投入x萬元，A產品投入（18-x）萬元，該企業可獲總利潤為y萬元，
則y=

1

4

（18-x）+2

x

，0≤x≤18…..6′
令

x

=t，t∈[0，3

2

]，則y=

1

4

（-t²+8t+18）=-

1

4

（t-4）²+

34

4

．…8′
∴當t=4時，y_max=

34

4

=8.5，此時x=16，18-x=2．
∴當A、B兩種產品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業獲得最大利潤8.5萬元．…9′

點評：本題考查函數模型的構建，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．