Question

【題目】如圖，直角梯形，，將沿折起來，使平面平面.如圖，設為的中點，，的中點為.

（）求證：平面.

（）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（）在線段上是否存在點，使得平面，若存在確定點的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）通過面面垂直的性質證得；

（2）建立空間直角坐標系，計算出兩個半平面的法向量所成角的余弦值即可得解；

（3）假設存在，設出點的坐標，利用求解，找出矛盾.

（1），的中點為，連接，必有，

由題：平面平面，交線為，平面，

根據面面垂直的性質可得平面；

（2）取中點，連接，則，

由圖1直角梯形可知，為正方形，

，

所以

由（1）平面，所以兩兩互相垂直，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，

所以，，

設平面的法向量為，

則，取，則

即平面的法向量為，平面，

取平面的法向量

平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（3）假設線段上是否存在點，使得平面，設，

所以，必有

即，，解得，與矛盾，

所以線段上不存在點，使得平面.