Question

1×

1

3

+2×

1

9

+3×

1

27

+…+n×

1

3n

=

3

4

-

1

4

•(

1

3

)n-1 -

n

2

•(

1

3

)n

．

Answer 1

分析：通項是n×

1

3n

，可看作等差數列{n}與等比數列{

1

3n

}對應項相乘得到，可用錯位相消法求和．

解答：解：S_n=1×

1

3

+2×

1

9

+3×

1

27

+…+n×

1

3n

兩邊同乘以

1

3

得
  

1

3

Sn=1×

1

9

+2×

1

27

+ …+(n-1)

1

3n

+n×

1

3n+1

兩式相減得
  

2

3

Sn=

1

3

+

1

9

+

1

27

+…+

1

3n

-n×

1

3n+1

=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

-n×

1

3n+1

=

1

2

(1-(

1

3

)n) -n×

1

3n+1

∴Sn=

3

4

-

1

4

•  (

1

3

)n-1 -

n

2

•(

1

3

)n
故答案為

3

4

-

1

4

• (

1

3

)n-1 -

n

2

•(

1

3

)n

點評：本題考查數列求和的錯位相消法．適用于形如{a_n•b_n}前n項和，其中{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列．解題格式比較固定，要注意計算的準確性．