Question

給出下列命題：
（1）函數f（x）=4sin（2x+

π

3

）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱；
（2）函數g（x）=-3sin（2x-

π

3

）在區間（-

π

12

，

5π

12

）內是增函數；
（3）函數h（x）=sin（

2x

3

x-

7π

2

）是偶函數；
（4）存在實數x，使sinx+cosx=

π

3

．
其中正確的命題的序號是

（1）（3）（4）

．

Answer 1

分析：根據點（-

π

6

，0）是函數圖象與x軸的交點，故函數圖象關于點（-

π

6

，0）對稱，故（1）正確；
由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得y=sin（2x-

π

3

） 的增區間，可得（2）不正確；
對于（3），利用誘導公式化簡為y=-cosx，該函數是偶函數；（3）正確；
（4）根據輔助角公式，我們可將sinx+cosx化為

2

sin（x+

π

2

），再由正弦型函數的值域，可以判斷（4）的真假．

解答：解：當x=-

π

6

時，函數f（x）=4sin（2x+

π

3

）=0，故點（-

π

6

，0）是函數圖象與x軸的交點，故函數圖象關于點（-

π

6

，0）對稱，故（1）正確．
（2）由于函數g（x）=-3sin（2x-

π

3

），由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
可得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈z，取k=-1，得-

7π

12

≤x≤-

π

12

，
故函數的增區間為[-

7π

12

，-

π

12

]，故（2）不正確．
（3）由于h（x）=sin（

2x

3

-

7π

2

）=cos

2x

3

，從而h（-x）=h（x），得h（x）是偶函數，∴命題（3）正確；
（4）中令y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）則-

2

≤y≤

2

，
∵-

2

≤

π

3

≤

2

，∴存在實數x，使得sinx+cosx=

π

3

；即（4）正確．
其中正確的命題的序號是 （1）（3）（4）．
故答案為：（1）（3）（4）．

點評：本題主要考查正弦函數的奇偶性、對稱性、單調性，判斷命題的真假，以及y=Asin（ωx+∅）圖象與性質，掌握y=Asin（ωx+∅）圖象和性質是解題的關鍵．屬于中檔題．