Question

數列{a_n}的通項公式a_n=（n∈N^*），記f（n）=（1－a₁）（1－a₂）·…·（1－a_n），

試求f（1），f（2），f（3）.推測f（n）的值，并用數學歸納法加以證明.

Answer 1

解：f（1）=1－a₁=1－=；

f（2）=f（1）·（1－a₂）=（1－）=；

f（3）=f（2）·（1－a₃）=（1－）=.

猜想：f（n）=.

證明：（1）當n=1時，由上述過程知結論成立；

（2）假設n=k時，f（k）=成立，

則f（k+1）=f（k）（1－a_k+1）

=［1－］

=·

=.

即當n=k+1時，結論也成立.

由（1）（2）知n∈N^*時結論成立.