Question

下列說法中
①設定點F₁（0，-3），F₂（0，3），動點P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a（a＞0），則動點P的軌跡是橢圓或線段；
②命題“每個指數函數都是單調函數”是全稱命題，而且是真命題．
③離心率為

1

2

，長軸長為8的橢圓標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的焦點坐標是（±1，0）．
其中正確的為

②④

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①當a＜6時，軌跡不存在．②根據全稱命題的定義判斷．③橢圓的焦點位置不確定，所以方程不確定．④當3＜k＜4，4-k＞0＞3-k曲線為雙曲線，然后利用雙曲線的方程確定c．

解答：解：①根據橢圓的定義可知，a＞6，所以當a＜6時，軌跡不存在，所以①錯誤．
②命題含有全稱量詞“每個”，所以命題是全稱命題，且為真命題，正確．
③由題意知2a=8，所以a=4，由e=

c

a

=

1

2

，得c=2，所以b²=a²-c²=12，所以橢圓標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1，所以③錯誤．
④當3＜k＜4，4-k＞0＞3-k曲線為雙曲線，雙曲線方程為

x2

4-k

-

y2

k-3

，焦點在x軸上，所以a²=4-k，b²=k-3，所以c²=a²+b²=1，即c=1，所以焦點坐標是（±1，0），所以④正確．
故答案為：②④

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，綜合性較強，涉及的知識點較多．