Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為 (t為參數)，直線的參數方程為 (為參數)．設與的交點為，當變化時，的軌跡為曲線

(1)寫出的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設，為與的交點，求的極徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)分別消掉參數t與m可得直線l1與直線l2的普通方程為y=k（x-2）①與x=-2+ky②；聯立①②，消去k可得C的普通方程為x2-y2=4；

(2)將l的極坐標方程與曲線C的極坐標方程聯立，可得關于θ的方程，解得tanθ，即可求得l與C的交點M的極徑為ρ．

(1)消去參數t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；

消去參數m，得l2的普通方程l2：y＝ (x＋2)． 設P(x，y)，由題設得

消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，

聯立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝.

代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l與C的交點M的極徑為.