Question

在各項均為正數的數列中，前項和滿足。
(1)證明是等差數列，并求這個數列的通項公式及前項和的公式；
(2)在平面直角坐標系面上，設點滿足，且點在直線上，中最高點為，若稱直線與軸、直線所圍成的圖形的面積為直線在區(qū)間上的面積，試求直線在區(qū)間上的面積；
（3）若存在圓心在直線上的圓紙片能覆蓋住點列中任何一個點，求該圓紙片最小面積．

Answer 1

（1）   （2） （3）

  （1）由已知得     ①
故       ②
②－①得
結合，得
是等差數列           ……（2分）
又時，，解得或
      
又，故                  
     ……（4分）
（2）

即得點
設，消去n，得
即直線C的方程為           ……（7分）
又是n的減函數
∴為中的最高點，且
又M₃的坐標為（，）
∴C與x軸、直線圍成的圖形為直角梯形
從而直線C在[，1]上的面積為 ……（9分）
（3）由于直線C：上的點列M_n依次為
M₁（1，1），M₂（，），M₃（，），……，M_n（），
而
因此，點列M_n沿直線C無限接近于極限點M（，） ……（12分）
又
所以最小圓紙片的面積為……（14分）