Question

（2013•泉州模擬）設集合P⊆Z，且滿足下列條件：
（1）?x，y∈P，x+y∈P；       
（2）-1∉P；
（3）P中的元素有正數，也有負數； 
（4）P中存在是奇數的元素．
現給出如下論斷：
①P可能是有限集；
②?m，n∈P，mn∈P；
③0∈P；         
④2∉P．
其中正確的論斷是

①Ⅱ②③④

． （寫出所有正確論斷的序號）

Answer 1

分析：①P集合P={-3，0，3}滿足四個條件，所以集合P可能是有限集；
③利用反證法，假設0不在P里面，不妨設P中的最小正整數為a，最大負整數為b，從而可引出矛盾；
②列舉反例，可得結論；
④利用反證法，結合性質（1）引出矛盾．

解答：解：①集合P={-3，0，3}滿足四個條件，所以集合P可能是有限集P，即①對；
③假設0不在P里面，不妨設P中的最小正整數為a，最大負整數為b，則a+b不為零，不妨設a＞-b，當a＞0且a+b＜a，又a+b在P中，這與a為P中的最小正整數矛盾，故0在P中，∴③對；
②?m=0，n是奇數∈P，則mn=0∈P，∴②對
④若2∈P，又P中存在一個負奇數，不妨記為b，且b必小于等于-3，由性質（1），不斷的運用性質（1），將數a不斷的加2，肯定能得到-1屬于P，與題意矛盾，故④對；
故答案為：①②③④

點評：本小題主要考查復合命題的真假、實數的性質等知識，解答關鍵是利用反證法的思想方法．