Question

已知點B′為圓A：（x-1）²+y²=8上任意一點、點B（-1，0）．線段BB′的垂直平分線和線段AB′相交于點M．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）已知點M（x，y）為曲線E上任意一點．求證：點關于直線xx+2yy=2的對稱點為定點、并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出A的坐標，由題意可知M滿足橢圓的定義，求a、b可得它的方程．
（2）設出定點利用對稱知識，和已知直線垂直，中點在已知直線上，解出定點坐標即可．
解答：解：（1）連接MB，
∴MB=MB'，
故、而AB=2（4分）
∴點M的軌跡是以A、B為焦點且長軸長為的橢圓．
∴點M的軌跡E的方程為（8分）
（2）證明：設點
關于直線xx+2yy=2的對稱點為Q（a，b）
所以．
即（10分）
∴bx（2-x）=2y（2-x）（a+1）．
∵x≠2
∴bx-2y（a+1）=0（14分）
因為上式對任意x，y成立，
故
所以對稱點為定點Q（-1，0）．（16分）
點評：本題考查圓的標準方程，點關于直線對稱問題，軌跡的求法，是難題．