Question

【題目】為改善居民的生活環境，政府擬將一公園進行改造擴建，已知原公園是直徑為200米的半圓形，出入口在圓心處，為居民小區，的距離為200米，按照設計要求，以居民小區和圓弧上點為線段向半圓外作等腰直角三角形（為直角頂點），使改造后的公園成四邊形，如圖所示．

（1）若時，與出入口的距離為多少米？

（2）設計在什么位置時，公園的面積最大？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設，在中可表示，進而可表示，則在在中利用余弦定理即可得解.

（2）設∠AOB＝α，利用余弦定理得到以及三角形的面積公式得到關于α的面積表達式，結合三角函數求最值．

解：（1）設則在中在中

則米

（2）如圖，設∠AOB＝α，則AB2＝OB2+OA2﹣2OB×OA×cosα＝50000﹣40000cosα，

又12500﹣10000cosα，又200×100sinα＝10000sinα，

∴S四邊形OACB＝S△ABC+S△AOB＝12500﹣10000cosα+10000sinα＝10000（sinα﹣cosα）+12500＝10000sin（）+12500，

∴當sin（）＝1，即時，四邊形OACB面積最大為（1000012500）m2．