Question

設直2x-3y-1=0與x+y+2=0的交點為P．
（1）直線l經過點P且與直3x+y-1=0垂直，求直線l方程．
（2）求圓心在直線3x+y-1=0上，且經過原點O和點P的圓方程．

Answer 1

分析：由已知可求P，
（1）法一根據所求直線與直線l與直3x+y-1=0垂直，可求直線l的斜率．根據直線的點斜式即可求解
法二：利用直線系可設過兩直線的交點的直線方程為2x-3y-1+λ（x+y+2）=0，然后根據l與直3x+y-1=0垂直可求λ即可求解
（2）法一：由題意可設圓心為M，然后根據已知可得PM=OM，根據兩點間的距離公式可求M，進而可求半徑，即可求解
法二：由題意可知，圓心在OP的垂直平分線上，根據題意求出OP的垂直平分線的方程，聯立已知方程即可求解圓心，半徑r，即可求解

解答：解：由

2x-3y-1=0 x+y+2=0

可得P（-1，-1）
（1）法一：∵直線l與直3x+y-1=0垂直，
∴k=

1

3

∴所求直線l方程為y+1=

1

3

（x+1）即x-3y-2=0
法二：設過兩直線的交點的直線方程為2x-3y-1+λ（x+y+2）=0
即（2+λ）x+（λ-3）y+2λ-1=0
∵l與直3x+y-1=0垂直
∴3（2+λ）+（λ-3）=0
∴∴λ=-

3

4

代入可得所求直線的方程為x-3y-2=0
（2）法一：由題意可設圓心為M（a，1-3a）
∵圓經過原點O和點P
∴PM=OM
即

(a+1)2+(2-3a)2

=

a2+(1-3a)2

解可得a=1
∴圓心（1，-2）半徑r=OM=

5

∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=5
法二：∵圓經過原點O和點P
∴圓心在OP的垂直平分線上，
∵K_OP=1，OP的中點（-

1

2

，-

1

2

）
而OP的垂直平分線為y+

1

2

=-(x+

1

2

)即x+y+1=0
聯立

x+y+1=0 3x+y-1=0

可得圓心（1，-2），半徑r=

5

∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=5

點評：本題主要考查了直線的垂直關系的應用及直線方程的求解，圓的方程的求解，注意不同解法的靈活應用