Question

定義：一個數集的和就是這個集合中所有元素的和．設S是由一些不大于15的正整數組成的集合，假設S中的任意兩個沒有相同元素的子集有不同的和，則具有這種性質的集合S的和的最大值為（　　）

• A、76
• B、71
• C、66
• D、61

Answer 1

分析：根據定義，對S中元素的個數進行討論，確定S和的最大值即可．

解答：解：根據定義：先證明S元素個數至多是5．
如果多于5個，則元素個數不超過4的子集至少有C

1 6

+C

2 6

+C

3 6

+C

4 6

=56個
每個子集的和S≤12+13+14+15=54，
故必有兩個子集的和相等．∴不成立．
即S的元素個數n≤5，
∴S的和S≤15+14+13+12+11=65．如果S的和≥62，則S的元數為5，并且15、14均在S中（S的和至多比15+14+13+12+11少3）．這時S中無其它的連續整數，
因而只有一種情況即{15，14，13，11，9），不難看出它不滿足條件．
∴S的和S≤61．特別地，S={15，14，13，11，8}時，和取最大值61，
故選：D．

點評：本題主要考查與 集合有關的新定理，難度較大，非常難理解，是個難題．