Question

【題目】已知拋物線上的點到其焦點距離為3，過拋物線外一動點作拋物線的兩條切線，切點分別為，且切點弦恒過點.

（1）求和；

（2）求證：動點在一條定直線上運動.

Answer 1

【答案】（1），.（2）證明見解析

【解析】

（1）根據拋物線的定義求得，由此求得拋物線方程，將的坐標代入拋物線方程，由此求得.

（2）設出的坐標，根據拋物線的切線方程求得直線的方程，將的坐標代入直線的方程，由此求得直線的方程，將點坐標代入直線的方程，由此判斷出動點在直線上運動.

（1）由題意得

拋物線方程為，∴，

（2）首先推導拋物線切線方程的一般性：設拋物線上的一點為，由，所以拋物線過點的切線的斜率為，切線方程為，化簡得.

設

∴拋物線的切線的方程：

拋物線的切線的方程：

∵均經過，∴

故直線即過，也過

故方程：

∵它恒過，∴，∴它在上運動.