Question

（本小題滿分14分）已知函數。

(1)求函數的單調區間與最值；

(2)若方程在區間內有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍；  （其中e為自然對數的底數）

(3)如果函數的圖像與x軸交于兩點，且，求證：（其中，是的導函數，正常數滿足）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵，，              -----1分

∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減。                                                            ----3分

∴當x=1時，有極大值，也是最大值，即為-1，但無最小值。  -----4分

故的單調遞增區間為，單調遞減區間為；最大值為-1，但無最小值。

（2）方程化為，                               -----5分

由（1）知，在區間上的最大值為-1，，，。故在區間上有兩個不等實根需滿足，                                                -----7分

∴，∴實數m的取值范圍為。             -----8分

（3）∵，又有兩個實根，

∴兩式相減，得

∴                  -----10分

于是

=.

∵,∴,∵,∴。           -----11分

要證：，只需證：.

只需證：.                      (＊)

令，∴(＊)化為

只證即可.                                 -----12分

，，0<t<1，

∴t-1<0．

∴u'(t)>0,∴u(t)在(0，1)上單調遞增，∴u(t)<u(1)=0

∴u(t)<0，

即：.

                   .............14分

【解析】略