Question

　　已知函數f(x)定義域為[0，1]，且同時滿足

　　(1)對于任意x∈[0，1]，且同時滿足；

　　(2)f(1)＝4；

　　(3)若x₁≥0，x₂≥0，x₁＋x₂≤1，則有f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)－3．

(Ⅰ)試求f(0)的值；

(Ⅱ)試求函數f(x)的最大值；

(Ⅲ)設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁＝1，S_n＝(a_n－3)，n∈N^*．

求證：f(a₁)＋f(a₂)＋…＋f(a_n)＜log₃．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(Ⅰ)令x1＝x2＝0，則有f(0)≥2f(0)－3，即f(0)≤3． 　　又對任意x∈[0，1]，總有f(x)≥3，所以f(0)＝3． 　　(Ⅱ)任取x1，x2∈[0，1]，x1＜x2， 　　f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]≥f(x1)＋f(x2－x1)－3． 　　因為0＜x2－x1≤1，∴f(x2－x1)≥3． 　　∴f(x2)≥f(x1)＋3－3＝f(x1)． 　　∴當x∈[0，1]時，f(x)≤f(1)＝4，所以函數f(x)的最大值為4． 　　(Ⅲ)當n＞1時，an＝Sn―Sn－1＝(an－3)－(an－1―3)，∴＝． 　　∴數列{an}是以a1＝1為首項，公比為的等比數列． 　　an＝1×()n－1＝， 　　f(1)＝f[3n－1·]＝f[＋(3n－1－1)×]≥f()＋f[(3n－1－1)]－3≥… 　　4≥3n－1f()－3n＋3． 　　∴f()≤＝3＋，即f(an)≤3＋． 　　∴f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)≤(3＋)＋(3＋)＋…＋(3＋) 　　＝3n＋＝3n＋－＜3n＋＝3(n＋)． 　　又log3＝log333·32n－2＝(2n＋1)＝3(n＋)， 　　∴原不等式成立．

提示：

分析：(Ⅰ)令x＝y＝0賦值法和不等號的性質求f(0)的值；(Ⅱ)證明函數f(x)在[0，1]上的單調性求f(x)的最大值；(Ⅲ)先根據條件求數列{an}的通項公式，利用條件f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－3放大f()，再利用求和的方法將f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)放大，證明不等式成立． 　　說明：這是一道涉及函數的單調性的應用、不等式的證明、數列的通項與求和的綜合性題，難度較大，對思維能力要求較高，要求具有熟練掌握函數單調性的證明方法、數列求和和放縮法證明不等式等推理能力．