Question

【題目】已知關于的方程， ，分別求滿足下列條件實數的取值范圍：

（1）有解；

（2）有唯一解；

（3）有兩個解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設，由指數函數的單調性，可得的范圍，將方程化為在有解，設，求出在的值域，即可得到所求的范圍．

（2）利用（1）的結果，通過函數的單調性與函數圖象，求解方程只有一個解時的范圍；

（3）利用函數的圖象，寫出由兩個解時的范圍．

（1）設，由，，可得，

方程，即為，

即在有解，

由，

當時，取得最小值，

，可得的最大值為60．

可得的最小值為，

的最大值為，

即有的取值范圍是．

（2）由（1）可知在有解，

由，

時，是減函數，函數是增函數；

，是增函數，函數是減函數．

時，，時，，函數在的圖象如圖：

有唯一解；實數的取值范圍：；

（3）有兩個解，由圖象可得實數的取值范圍；