Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是BB₁的中點(diǎn)。

（1）求證：截面A₁EC⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA₁=A₁B₁，且F是AC中點(diǎn)，求直線EF與面A₁EC所成角的大小。

Answer 1

（1 ）證明：作EG⊥A₁C于G      
∵E是BB₁的中點(diǎn)，且A₁B₁=BC      
∴EA₁=EC   
∴G是A₁C的中點(diǎn)   
又連結(jié)AC₁，則G是AC₁的中點(diǎn)      
又連結(jié)EA，EC₁，則EG⊥AC₁     
又∵      
∴EG⊥平面ACC₁A₁，截面A₁EC      
∴截面A₁EC⊥平面ACC₁A₁
（2）解：以AC的中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系
不妨設(shè)AA₁=A₁B₁=2
則      
則
設(shè)面A₁EC的法向量
由
設(shè)EF與面A₁EC所成的角為θ
則        
∴EF與面A₁EC所成的角的大小為。