Question

已知函數f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1．
（Ⅰ）當x=

4

3

π時，求f（x）值；
（Ⅱ）若存在區間[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6個零點，在滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當x=

4

3

π時，代入f（x）的解析式，即可得到f（x）的值；
（Ⅱ）令f（x）=0，即可解出零點的坐標，可得相鄰兩個零點之間的距離．若b-a最小，則a和b都是零點，此時在區間（a，mπ+a）（m∈N^*）恰有4個零點，即可得到a，b滿足的條件，進一步即可得出b-a的最小值．

解答：解：（1）當x=

4

3

π時，f(x)=2sin(2×

4π

3

+

π

3

)+1=2sin(3π)+1=2sinπ+1=1；
（2）f(x)=0⇒sin(2x+

π

3

)=-

1

2

⇒x=kπ-

π

4

或x=kπ-

7

12

π，k∈Z，
即f（x）的零點相離間隔依次為

π

3

和

2π

3

，
故若y=f（x）在[a，b]上至少含有6個零點，
則b-a的最小值為2×

2π

3

+3×

π

3

=

7π

3

．

點評：本題綜合考查了三角函數的周期性、函數的零點等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．