Question

【題目】四面體ABCD中，AB和CD為對棱．設AB=a，CD=b，且異面直線AB與CD間的距離為d，夾角為θ．
（Ⅰ）若θ= ，且棱AB垂直于平面BCD，求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）當θ= 時，證明：四面體ABCD的體積為一定值；
（Ⅲ）求四面體ABCD的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）如圖5﹣2，由于棱AB⊥平面BCD，過B作CD邊上的高BE，
則AB⊥BE，CD⊥BE，
故BE是異面直線AB與CD的距離，即d=BE．
所以VA﹣BCD= ABS△BCD= a = abd．

（Ⅱ）如圖5﹣3，過A作底面BCD的垂線，垂足為O，連結BO與CD相交于E．連結AE，
再過E作AB的垂線，垂足為F．
因為AB⊥CD，所以BO⊥CD（三垂線定理的逆定理），
所以CD⊥平面ABE，
因為EF平面ABE，
所以CD⊥EF，
又EF⊥AB．
所以EF即為異面直線AB，CD的公垂線．
所以EF=d．注意到CD⊥平面ABE．
所以VA﹣BCD= CDS△ABE= ABEFCD= abd為定值．
（Ⅲ）如圖5﹣4：將四面體ABCD補成一個平行六面體ABB'D'﹣A'CC'D．
由于AB，CD所成角為θ，
所以∠DCA'=θ，
又異面直線AB與CD間的距離即上、下兩底面AB'，A'C'的距離，
所以VABB'D'﹣A'CC'D= absinθ×2d=abdsinθ．
顯然VA﹣BCD= VABB'D'﹣A'CC'D= abdsinθ
【解析】（Ⅰ）根據異面直線的距離的定義結合三棱錐的體積公式進行求解即可．（Ⅱ）找出異面直線AB，CD的公垂線，結合三棱錐的體積公式進行證明即可．（Ⅲ）根據錐體的體積公式進行求解．