Question

（2013•浙江模擬）如圖，函數y=f（x）的圖象為折線ABC，設f₁（x）=f（x），f_n+1 （x）=f[f_n（x）]，n∈N^*，則函數y=f₄（x）的圖象為（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：已知函數y=f（x）的圖象為折線ABC，設f₁（x）=f（x），f_n+1 （x）=f[f_n（x）]，可以根據圖象與x軸的交點進行判斷，求出f₁（x）的解析式，可得與x軸有兩個交點，f₂（x）與x軸有4個交點，以此來進行判斷；

解答：解：函數y=f（x）的圖象為折線ABC，設f₁（x）=f（x），f_n+1 （x）=f[f_n（x）]，
由圖象可知f（x）為偶函數，關于y軸對稱，所以只需考慮x≥0的情況即可：
由圖f₁（x）是分段函數，
f₁（x）=f（x）=

4x-1  (0≤x≤ 1 2 ) -4x+3( 1 2 ≤x≤1)

，是分段函數，
∵f₂（x）=f（f（x）），
當0≤x≤

1

2

，f₁（x）=4x-1，可得-1≤f（x）≤1，仍然需要進行分類討論：
①0≤f（x）≤

1

2

，可得0＜x≤

1

4

，此時f₂（x）=f（f₁（x））=4（4x-1）=16x-4，
②

1

2

≤f（x）≤1，可得

1

4

＜x≤

1

2

，此時f₂（x）=f（f₁（x））=-4（4x-1）=-16x+4，
可得與x軸有2個交點；
當

1

2

≤x≤1，時，也分兩種情況，此時也與x軸有兩個交點；
∴f₂（x）在[0，1]上與x軸有4個交點；
那么f₃（x）在[0，1]上與x軸有6個交點；
∴f₄（x）在[0，1]上與x軸有8個交點，同理在[-1.0]上也有8個交點；
故選D；

點評：此題主要考查函數的圖象問題，以及分段函數的性質及其圖象，是一道好題；