Question

已知函數f（x）=x³-3a²x+b（a，b∈R）在x=2處的切線方程為y=9x-14．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）令函數g（x）=x²-2x+k
①若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）能成立，求實數k的取值范圍；
②設函數y=g（x）的圖象與直線x=2交于點P，試問：過點P是否可作曲線y=f（x）的三條切線？若可以，求出k的取值范圍；若不可以，則說明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-3a²由f（x）在x=2處的切線方程為y=9x-14
所以

f′(2)=9 f(2)=4

即

12-3a2=9 8-6a2+b=4

得

a2=1 b=2

故f（x）=x³-3x+2．
（2）①令f′（x）=0即3x²-3=0得x=±1
所以當x∈[0，1]時，有f′（x）＜0，此時f（x）遞減
當x∈（1，2]時，有f′（x）＞0，此時f（x）遞增
又因為f（0）=2，f（2）=4，有f（0）＜f（2）
所以f（x）_max=f（2）=4又知g（x）_min=g（1）=1-2+k=k-1
因為存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立 所以有f（x）_max≥g（x）_min
得：4≥k-1即k≤5
所以實數k的取值范圍是（-∞，5]．
②由題意知P（2，k）
設切點坐標為（x₀，y₀），則有y₀=x₀³-3x₀+2又切線的斜率為3x₀²-3
所以其切線方程為：y-（x₀³-3x₀+2）=（3x₀²-3）（x-x₀）
因為切線過點P，故有k-（x₀³-3x₀+2）=（3x₀²-3）（2-x₀）
即k=-2x₀³+6x₀²-4因為過點P可以作曲線f（x）的三條切線
所以方程k=-2x₀³+6x₀²-4有三個不同的實數解
令h（x）=-2x³+6x²-4
則由h′（x）=-6x²+12x=0得x=0，x=2
當x∈（-∞，0），（2，+∞）時，有h′（x）＜0，此時h（x）遞減
當x∈（0，2）時，有h′（x）＞0，此時h（x）遞增
所以h（x）_極大=h（2）=4，h（x）_極小=h（0）=-4
所以-4＜k＜4
故k的取值范圍是（-4，4）