Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若橢圓上存在點(diǎn)P，使得c•PF₂=a•PF₁則該橢圓離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由橢圓的定義可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），解得x=

c-a

e(e+1)

，由題意可得-a≤

c-a

e(e+1)

≤a，解不等式求得離心率e的取值范圍．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，∵c•PF₂=a•PF₁ 即|PF₁|=e|PF₂|，則由橢圓的定義可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），
∴x=

c-a

e(e+1)

，由題意可得-a≤

c-a

e(e+1)

≤a，∴-1≤

e-1

e(e+1)

≤1，
∴

e-1 ≥-e2- e e-1 ≤e2+ e

，∴

2

-1≤e＜1，則該橢圓的離心率e的取值范圍是[

2

-1，1），
故答案為：[

2

-1，1）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，由橢圓的定義可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），是解題的關(guān)鍵．．