Question

隨著現代社會的發展，擁有汽車的家庭越來越多，交通安全顯得尤為重要，考取汽車駕駛執照要求也越來越高．某汽車駕駛學校在學員結業前對其駕駛技術進行4次考核，規定：按順序考核，一旦考核合格，不必參加以后的考核，否則還需參加下次考核．若小明參加每次考核合格的概率依次組成一個公差為

1

7

的等差數列，且他參加第一次考核合格的概率大于

1

2

，他直到參加第二次考核才合格的概率為

15

49

．（1）求小明參加第一次考核就合格的概率；（2）求小明參加考核的次數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）設出小明參加第一次考核就合格的概率，根據他直到參加第二次考核才合格的概率為

15

49

，和小明參加每次考核合格的概率依次組成一個公差為

1

7

的等差數列，寫出關系式，得到方程，解方程即可，注意去掉不合題意的．
（2）由（1）知，小明參加每次考核合格的概率依次是

4

7

，

5

7

，

6

7

，1，變量的可能取值是1，2，3，4，根據相互獨立事件的概率公式得到變量對應的概率，寫出分布列和期望值．

解答：解：（1）設小明參加第一次考核就合格的概率為p，
則(1-p)(P+

1

7

•)=

15

49

即49p²-42p+8=O，
解得：P=

2

7

或P=

4

7

∵p=.

2

7

＜

1

2

，
∴p=

4

7

即小明參加第一次考核就合格的概率為

4

7

（2）由（1）知，小明參加每次考核合格的概率依次是

4

7

，

5

7

，

6

7

，1
∴ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=

4

7

，P（ξ=2）=

15

49

P(ξ=3)=(1-

4

7

)×(1-

5

7

)×

6

7

=

36

343

P(ξ=4)=(1-

4

7

)×(1-

5

7

)×(1-

6

7

)×1=

6

343

∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

4

7

+2×

15

49

+3×

36

343

+4×

6

343

=

538

343

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望值，考查相互獨立事件的概率公式，考查對立事件的概率，本題是一個綜合題目，是近幾年必出的一道題目．