Question

【題目】定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)，如果，使得，則稱(chēng)為區(qū)間[a,b]上的“中值點(diǎn)”．

下列函數(shù)：①；②；③；④中，在區(qū)間[0,1]上“中值點(diǎn)”多于一個(gè)的函數(shù)序號(hào)為_________．（寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的函數(shù)的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①④

【解析】分析：由題意知“中值點(diǎn)”的意義是指在區(qū)間[0,1]上存在點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率等于區(qū)間[0,1]的兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率．分別畫(huà)出四個(gè)函數(shù)的圖象，由此定義對(duì)四個(gè)函數(shù)逐個(gè)判斷可得答案．

詳解：由題意得“中值點(diǎn)”的意義是在區(qū)間[0,1]上存在點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率等于區(qū)間[0,1]的兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率．

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出四個(gè)函數(shù)的圖象（如下圖）．

對(duì)于①，根據(jù)題意，在區(qū)間[0,1]上的任何一點(diǎn)都是“中值點(diǎn)”，故①正確；

對(duì)于②，區(qū)間[0,1]兩端點(diǎn)連線的斜率，即點(diǎn)（0,1）和（1,1）連線的斜率為0．又，由得，因此函數(shù)在區(qū)間[0,1]只存在一個(gè)“中值點(diǎn)”，故②不正確；

對(duì)于③，由題意得區(qū)間[0,1]兩端點(diǎn)連線的斜率為ln2，又，由于只有一個(gè)解，所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)在區(qū)間[0,1]只存在一個(gè)“中值點(diǎn)”，故③不正確；

對(duì)于④，同理并結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，可得函數(shù)在區(qū)間[0,1]存在兩個(gè)“中值點(diǎn)”，故④正確．

綜上可得①④正確．