Question

(本小題滿分14分)
將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：

 
   
     
………………………
記表中的第一列數構成的數列為，．為數列的前項和，且滿足．
（1）證明：；
（2）求數列的通項公式；
（3）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當時，求上表中第行所有項的和．

Answer 1

（1）證明：由已知，當時，，，
所以，  即，     -----------2分
所以 ．                                             ------------3分
（2）又．                                            ------------4分
由（1）可知，數列是首項為1，公差為的等差數列．            ------------5分
所以，
即．                                                     ------------6分
所以當時，．                -----------7分
因此                                        -------------8分
（3）解：設上表中從第三行起，每行的公比都為，且．
因為，                                 ------------9分
所以表中第1行至第13行共含有數列的前91項，
故在表中第14行第三列，                                         ------------10分
因此．                                           ------------11分
又，
所以．                                                        ------------12分
記表中第行所有項的和為，
則．          -----------14分

略