Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1．

Answer 1

證明：充分性：當(dāng)q=-1時(shí)，a₁=S₁=p+q=p-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
當(dāng)n=1時(shí)也成立．
于是

an+1

an

=

pn(p-1)

pn-1(p-1)

=p（n∈N₊），
即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
必要性：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=p+q．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
∵p≠0，p≠1．
∴

an+1

an

=

pn(p-1)

pn-1(p-1)

=p．
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴

a2

a1

=

an+1

an

=p，

p(p-1)

p+q

=p，
即p-1=p+q．∴q=-1．
綜上所述，q=-1是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．