Question

設函數f（x）=（x²+ax+a）e^-x，其中x∈R，a是實常數，e是自然對數的底．
（1）確定a的值，使f（x）的極小值為0；
（2）證明：當且僅當a=3時，f（x）的極大值為3；
（3）討論關于x的方程f（x）+f'（x）=2xe^-x+x^-2（x≠0）的實數根的個數．

Answer 1

分析：對函數求導，整理可得f′（x）=e^-x[x²+（a-2）x]
（1）令f′①（x）=0可得x₁=0，x₂=2-a，分別討論2-a 與0的大小，從而判斷函數的單調性，進一步求出函數的極小值，從而求a的值
（2）結合（1）中函數單調性的兩種情況的討論，利用反證法分別假設a＞2，a＜2兩種情況證明，產生矛盾．
（3）把已知條件化簡可得ae^-x=x^-2?a=e^x•x^-2，構造函數∅（x）=x^-2•e^x（x≠0），利用導數判定函數的單調區間，結合函數的圖象討論根的個數．

解答：解：（1）f'（x）=（2x+a）e^x-（x²+ax+a）e^-x=-e^-x[x²+（a-2）x]（2分）
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
①當a=2時，f'（x）≤0，函數單調遞減，此時無極值
②當0＜2-a，即a＜2時，f'（x）和f（x）的變化如圖表1

此時應有f（0）=0，所以a=0＜2；
③當0＞2-a，即a＞2時，f'（x）和f（x）的變化如圖表2
此時應有f（2-a）=0，
即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=0，
而e^a-2≠0，
所以必有（2-a）²+a（2-a）+a=0，a=4＞2．
綜上所述，當a=0或a=4時，f（x）的極小值為0．（5分）
（2）若a＜2，則由表1可知，應有f（2-a）=3，
即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=3，
∴（4-a）e^a+2=3．設g（a）=（4-a）e^a-2，
則g'（a）=-e^a-2+（4-a）e^a-2=3=e^a-2（3-a）．
由a＜2，故g'（x）＞0，于是當a＜2時，g（a）＜g（2）=2＜3，
即（4-a）e^a-2=3不可能成立；
若a＞2，則由表2可知，應有f（0）=3，即a=3，
綜上所述，當且僅當a=3時極大值為3．（8分）
（3）∵f（x）=（x²+ax+a）e^-x，f'（x）=-e^x[x²+（a-2）x]，
∴方程f（x）+f'（x）=2xe^-x+x^-2可以化為ae^-x=x^-2，
進而化為x^-2e^x=a，構造函數φ（x）=x^-2e^x（x≠0），求導可得φ'（x）=e^x（x-2）x^-3．
由φ'（x）＞0得x＜0或x＞2；
由φ'（x）＜0得0＜x＜2，從而φ（x）在區間（-∞，0）和（2，+∞）上單調遞增，
在區間（0，2）上單調遞減，當x=2時，函數φ（x）取得極小值

e2

4

，
并且結合函數圖象可知；當|x|無限趨近于0時，φ（x）＞0并且取值無限增大，其圖象向上無限接近y軸，
但永遠也達不到y軸（此時y軸是漸近線）；
當x＜0并無限減小時，φ（x）＞0并且取值也無限減小，
其圖象在x軸上方并向左無限接近x軸，
但永遠也達不到x軸（此時x軸是漸近線）；
當x＞2并無限增大時，φ（x）＞0并且取值也無限增大，
其圖象在第一象限內向右上方無限延伸（如圖所示）．

因此當a≤0時，原方程無實數根；
當0＜a＜

e2

4

時，原方程只有一個實數根；
當a=

e2

4

時，原方程有兩個不等的實數根；
當a＞

e2

4

時，原方程有三個不等的實數根．

點評：本小題考查用導數的方法研究函數的單調性、極值以及方程根的存在情況．解題中滲透了分類討論、數形結合、方程與函數的思想及轉化的思想，本題是一道綜合性較強的試題，運用了許多重要的數學思想和方法，要注意體會掌握．