Question

已知點A（0，1）、B（0，-1），P是一個動點，且直線PA、PB的斜率之積為-

1

2

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設Q（2，0），過點（-1，0）的直線l交C于M、N兩點，若對滿足條件的任意直線l，不等式

QM

•

QN

≤λ恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

（1）設動點P的坐標為（x，y），則直線PA，PB的斜率分別是

y-1

x

，

y+1

x

，
由條件得

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

2

，-----------------2分
即

x2

2

+y2=1(x≠0)動點P的軌跡C的方程為

x2

2

+y2=1(x≠0)-----------------6分分（注：無x≠0扣1分）
（2）設點M，N的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
ⅰ）當直線l垂直于x軸時，x1=x2=-1，y1=-y2，

y

21

=

1

2

∴

QM

=(-3，y1)，

QN

=(-3，y2)=(-3，-y1)
∴

QM

•

QN

=(-3)2-

y

21

=

17

2

---------------10分
ⅱ）當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=k（x+1），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0----------11分
∴x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

----------------12分
∴

QM

•

QN

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2
又∵y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
∴

QM

•

QN

=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4-----------------13分
=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＜

17

2

-------------------14分
綜上所述

QM

•

QN

的最大值是

17

2

----------------15分
∴λ的最小值為

17

2

-----------------------16分