Question

已知橢C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點為F₁，F₂，P是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經過橢圓的焦點，且△PF₁F₂的周長為4+2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線的l是圓O：x²+y²=

4

3

上動點P（x₀，y₀）（x₀-y₀≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經過橢圓的焦點，可得b=c，利用△PF₁F₂的周長為4+2

2

，可得a+c=2+

2

，從而可求橢圓的幾何量，進而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線的l方程與橢圓方程聯立，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），利用韋達定理，確定x₁x₂+y₁y₂=0，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：因為以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經過橢圓的焦點，所以b=c，可得a=

2

c，
又因為△PF₁F₂的周長為4+2

2

，所以a+c=2+

2

，所以c=

2

，
所以a=2，b=

2

，所以所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．   　　　　　   …（5分）
（Ⅱ）證明：直線的l方程為x0x+y0y=

4

3

，且x₀²+y₀²=

4

3

，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
聯立方程

x2 4 + y2 2 =1 x0x+y0y= 4 3

，消去y得（

y

2 0

+2

x

2 0

）x²-

16

3

x0x+

32

9

-4

y

2 0

=0，
∴x₁+x₂=

16 3 x0

y 2 0 +2 x 2 0

，x₁x₂=

32 9 -4 y 2 0

y 2 0 +2 x 2 0

，…（8分）
∴y1y2=

1

y 2 0

(

4

3

-x0x1)(

4

3

-x0x2)=

16 9 -4 x 2 0

y 2 0 +2 x 2 0

，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=

32 9 -4 y 2 0

y 2 0 +2 x 2 0

+

16 9 -4 x 2 0

y 2 0 +2 x 2 0

=0
∴∠QOR=90°為定值．                                            …（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．