Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，過F₁且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF₂是正三角形，則這個橢圓的離心率為（    ）

A．                B．            C．            D．

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】解：∵△ABF₂是正三角形，∴∠AF₂B=60°，∵直線AB與橢圓長軸垂直，

∴F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=1 2 ×60°=30°，Rt△AF₂F₁中，設|AF₁|=m，sin30°=|AF₁| |AF₂| =1 2 ，∴|AF₂|=2m，|F₁F₂|² = |AF₂|²-|AF₁|² = 3 m

因此，橢圓的長軸2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c= 3 m∴橢圓的離心率為e=c a =2c 2a =故答案為： B