Question

設函數f（x）是R上可導的偶函數，且滿足f(x+

5

2

)=-f(x)，則曲線y=f（x）在x=5處的切線的斜率為（　�。�

• A．-

  1

  5

• B．0
• C．

  1

  5

• D．5

Answer 1

分析：偶函數的圖象關于y軸對稱，x=0為極值點，f（x）是R上以5為周期，x=5也是極值點，極值點處導數為零．

解答：解：∵f(x+

5

2

)=-f(x)，
∴f（x+5）=-f（x+

5

2

）=f（x），
∴函數f（x）是周期為5的周期函數．
∵f（x）是R上可導偶函數，
∴f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）在x=0處取得極值，即f′（0）=0，
又∵f（x）的周期為5，
∴f′（5）=0，即曲線y=f（x）在x=5處的切線的斜率0，
故選項為B

點評：本題考查函數的周期性、奇偶性、導數的幾何意義、極值點滿足的條件．解題時要認真審題，仔細解答．