Question

如圖所示，已知點P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁D₁上的一個動點，設異面直線AB與CP所成的角為α，則cosα的最小值是

 

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，可得cosα=|cos＜

AB

，

CP

＞|，由函數的最值可得答案．

解答：解：以D為坐標原點，DA，DC，DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（x，0，1），其中0≤x≤1，
∴

AB

=（0，1，0），

CP

=（x，-1，1），
∴cosα=|cos＜

AB

，

CP

＞|=

1

x2+2

，
可知當x=1，即P與A₁重合時，cosα=

1

x2+2

取最小值

3

3

．
故答案為：

3

3

點評：本題考查異面直線所成的角，涉及函數的最值得求解，建立坐標系是解決問題的關鍵，屬中檔題．