Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：+=1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點.

（1）若橢圓C上的點A（1,）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標.

（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程.

（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值，試寫出雙曲線=1具有類似特性的性質并加以證明.

Answer 1

分析:由已知條件可寫出橢圓方程及代入法求軌跡，本題不是直接證明橢圓中的性質，而是類似地轉化到雙曲線中證明雙曲線具有的性質,用斜率公式及雙曲線方程即可得證.

解:（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2.

又點A（1，）在橢圓上，因此+=1,b²=3.

∴c²=a²-b²=1.

∴橢圓C的方程為+=1,焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）.

(2)設橢圓C上的動點為K(x₁,y₁)，線段F₁K的中點Q（x,y）滿足x=,y=,

∴x₁=2x+1,y₁=2y.

∴+=1,即（x+）²+=1為所求的軌跡方程.

（3）類似的性質為：若M、N是雙曲線=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.設點M的坐標為（m,n），則點N的坐標為（-m,-n），其中=1.

又設點P的坐標為（x,y），由k_PM=,

k_PN=,得k_PM·k_PN=·=.

將y²=x²-b²,n²=m²-b²,代入得k_PM·k_PN=.

綠色通道

    類比定義和性質是中學數學中最常考查的一類問題，它能很好地培養學生探索問題的能力，應該給予足夠的重視.有興趣的同學也可證明橢圓具有的性質.類比是研究圓錐曲線的一種方法.