Question

對于兩個定義域相同的函數f（x），g（x），若存在實數m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數h（x）是由“基函數f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+3x和個g（x）=3x+4生成一個偶函數h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函數f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）試利用“基函數f（x）=log₄（4+1）、g（x）=x-1”生成一個函數h（x），使之滿足下列件：①是偶函數；②有最小值1；求函數h（x）的解析式并進一步研究該函數的單調性（無需證明）．

Answer 1

分析：（1）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據其是偶函數這一性質得到引入參數的方程，求出參數的值，即得函數的解析式，代入自變量求值即可．
（2）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據同一性建立引入參數的方程求參數，然后再求a+2b的取值范圍；
（3）先用待定系數法表示出函數h（x），再根據函數h（x）的性質求出相關的參數，代入解析式，由解析研究出其單調性即可

解答：解：（1）設h（x）=m（x²+3x）+n（3x+4）=mx²+3（m+n）x+4n，
∵h（x）是偶函數，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）
（2）設h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

得

a= 3-n 2 b=- 1 n

∴a+2b=

3-n

2

-

2

n

=

3

2

-

n

2

-

2

n

（8分）
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈(-∞， -

1

2

) ∪(

7

2

，+∞)（11分）
（3）設h（x）=mlog₄（4^x+1）+n（x-1）
∵h（x）是偶函數，∴h（-x）-h（x）=0，
即mlog₄（4^-x+1）+n（-x-1）-mlog₄（4^x+1）-n（x-1）=0
∴（m+2n）x=0得m=-2n（13分）
則h（x）=-2nlog₄（4^x+1）+n（x-1）=-2n[log₄（4^x+1）-

1

2

x+

1

2

]=-2n[log₄（2^x+

1

2x

）+

1

2

]
∵h（x）有最小值1，則必有n＜0，且有-2n=1∴m=1．n=-

1

2

∴h（x）=log₄（2^x+

1

2x

）+

1

2

h（x）在[0，+∞）上是增函數，在（-∞，0]上是減函數．（18分）

點評：本題考點是函數的奇偶性與單調性綜合，考查了利用偶函數建立方程求參數以及利用同一性建立方程求參數，本題涉及到函數的性質較多，綜合性，抽象性很強，做題時要做到每一步變化嚴謹，才能保證正確解答本題．