Question

已知f（x）=ax²+bx+1．
（1）若f（x）＞0的解集是（-1，2），求實數a，b的值．
（2）若A={x|f（x）＞0}，且-1∈A，2∈A，求3a-b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系可以得出，ax²+bx+1=0的解為-1，2，由根系關系即可求得實數a，b的值
（2）要題意可得出一關于實數a，b的不等式組，要求3a-b的取值范圍可用線性規劃的知識來求，以所得不等式組作為約束條件，以3a-b作為目標函數即可．

解答：解：（1）由題意可知：a＜0，且ax²+bx+1=0的解為-1，2
∴

a＜0 1 a =-2 - b a =1

解得：a=-

1

2

，b=

1

2

（2）由題意可得

f(-1)＞0 f(2)＞0

，?

a-b+1＞0 4a+2b+1＞0

畫出可行域，由

a-b+1=0 4a+2b+1=0

得{

a=- 1 2 b= 1 2

作平行直線系z=3a-b可知z=3a-b的取值范圍是（-2，+∞）

點評：本題考查一元二次不等式的應用，求解本題的關鍵是理解一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系以及將第二問中求3a-b的取值范圍的問題轉化到線性規劃中求解．做題時靈活轉化是降低題目難度順利解題的關鍵．