Question

【題目】對于定義域為的函數，若同時滿足下列三個條件：① ；② 當，且時，都有 ；③ 當，且時，都有， 則稱為“偏對稱函數”．現給出下列三個函數： ； ； 則其中是“偏對稱函數”的函數個數為

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】（1）經驗證可得，函數都滿足條件①；

（2）由可得或，即條件②等價于函數函數f(x)在區間(∞,0)上單調遞減，在區間(0,+∞)上單調遞增．

（ⅰ）對于函數，由于，故當或時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增．故不滿足條件②，從而不是“偏對稱函數”．

（ⅱ）對于函數，由于，故當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增．故滿足條件②．

（ⅲ）對于函數，由復合函數的單調性法則知在區間(∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，故滿足條件②．

（3）由題意可得，且，即，且．

（ⅰ）對于函數，有

．

令，則，由于，故等號不成立，所以在上單調遞增，故，從而可得．所以滿足條件③，即是“偏對稱函數”．

（ⅱ）對于函數，有

．令，則，故在上單調遞增，所以，從而可得．所以滿足條件③，即是“偏對稱函數”．

綜上可得函數和是“偏對稱函數”．選C．