Question

如圖，長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；
（3）若二面角的大小為，求的長(zhǎng).

Answer 1

（1）詳見解析；（2）存在，且；（3）的長(zhǎng)為.

試題分析：（1）以為原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030842775275.png" style="vertical-align:middle;" />軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，利用空間向量法證明，從而達(dá)到證明；（2）設(shè)點(diǎn)，求出 平面，利用平面轉(zhuǎn)化為，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出知，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，最終得到的長(zhǎng)；（3）設(shè)，利用空間向量法求出二面角的余弦值的表達(dá)式，再結(jié)合二面角為這一條件求出的值，從而確定的長(zhǎng)度.
試題解析：（1）以為原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030842775275.png" style="vertical-align:middle;" />軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，，
故，，，，
，；
（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí)，
有設(shè)平面的法向量為，
平面，，，得，
取，得平面的一個(gè)法向量為，
要使平面，只要，即有，由此得，解得，即，
又平面，
存在點(diǎn)，滿足平面，此時(shí)；
（3）連接、，由長(zhǎng)方體及，得，
，，
由（1）知，，由，平面，
是平面的一個(gè)法向量，此時(shí)，
設(shè)與所成的角為，得，
二面角的大小為，
，解得，即的長(zhǎng)為.