Question

【題目】已知函數f（x）=x2+3x+a
（1）當a=﹣2時，求不等式f（x）＞2的解集
（2）若對任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣2時，不等式f（x）＞2可化為x2+3x﹣4＞0，

解得{x|x＜﹣4或x＞1}

（2）解：若對任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，

則a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，

設g（x）=﹣x2﹣3x

則g（x）在區間x∈[1，+∞）上為減函數，當x=1時g（x）取最大值為﹣4，

∴a得取值范圍為{a|a＞﹣4}

【解析】（1）直接利用二次不等式轉化求解即可．（2）利用函數恒成立，分離變量，利用函數的最值求解即可．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和解一元二次不等式，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊才能得出正確答案．