Question

設函數．
（1）當b=0時，已知f（x）在[2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（2）當a是整數時，存在實數x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，且g（x₀）是g（x）的最小值，求所有這樣的實數對（a，b）；
（3）定義函數h（x）=﹣（x﹣2k）²﹣2（x﹣2k），x∈（2k﹣2，2k），k=0，1，2，…，則當h（x）取得最大值時的自變量x的值依次構成一個等差數列，寫出該等差數列的通項公式（不必證明）．

Answer 1

解：（1）當b=0 時，f（x）=ax²﹣4x，
若a=0，則f（x）=﹣4x 在[2，+∞） 上遞減，不合題意，舍去；故a≠0，
要使f（x） 在[2，+∞） 上單調遞增，
則 ，即a≥1；
（2）若a=0，則f（x）=﹣2 x無最大值，不合題意，故a≠0，
于是f（x）為二次函數，f（x）有最大值 ，
此時，當x=x₀= 時，f（x）取到最大值，
顯然，當且僅當x=x0=a時，g（x）取到最小值，故 =a∈Z，
于是a²=  
又a∈Z，a＜0，所以a=﹣1，b=﹣1，3，
所以滿足題意的實數對為（a，b）=（﹣1，﹣1）或（a，b）=（﹣1，3）；
（3）∵h（x）=﹣x²+4kx﹣4k²﹣2x+k=﹣[x﹣（2k﹣1）]²+1
∴h（x）取得最小值時x的值為2k﹣1（k∈N），
∴x_n=2n﹣3，n∈N*．