Question

在數列和等比數列中，，，．
（Ⅰ）求數列及的通項公式；
（Ⅱ）若，求數列的前項和．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）先利用數列是等比數列，結合，計算出數列的首項和公比，從而確定等比數列的通項公式，然后間接地求出數列的通項公式；解法二是先由數列是等比數列，結合定義證明數列是等差數列，然后將題設條件化為是有關數列的首項和公差的二元一次方程組，求出首項和公差的值進而求出數列的通項公式，最后確定等比數列的通項公式；
（Ⅱ）先根據，即數列的每一項均為等差數列中的項乘以等比數列中的項，結合利用錯位相減法即可求出數列的前項和.
試題解析：解法一：（Ⅰ）依題意，，      2分
設數列的公比為，由，可知，   3分
由，得，又，則，   4分
故，   5分
又由，得．      6分
（Ⅱ）依題意．      7分
 ，  ①
則  ②  9分
①-②得，    11分
即，故．      12分
解法二：（Ⅰ）依題意為等比數列，則（常數），
由，可知，      2分
由，
得（常數），故為等差數列，    4分
設的公差為，由，，得，
故．    6分
（Ⅱ）同解法一．