Question

已知正數x、y滿足x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．
解：∵x+2y=1且x、y＞0，
∴

1

x

+

1

y

=(

1

x

+

1

y

)(x+2y)≥2

1 xy

•2

2xy

=4

2

，
∴(

1

x

+

1

y

)min=4

2

，
判斷以上解法是否正確？說明理由；若不正確，請給出正確解法．

Answer 1

分析：在題中所給的解法中，解答過程中兩次利用基本不等式，兩次的等號不能同時取得，結果取不到等號．由此得到正確的解法，已知條件是一個整式等式，求得式子是分式形式，將分式乘以整式再展開，利用基本不等式求出最值，注意等號是否能取到．

解答：解：錯誤．
∵

1

x

+

1

y

≥2

1 xy

；等號當且僅當x=y時成立，又∵x+2y≥2

2xy

；等號當且僅當x=2y時成立，而①②的等號同時成立是不可能的．
正確解法：因為x＞0，y＞0，且x+2y=1，∴

1

x

+

1

y

=

x+2y

x

+

x+2y

y

=3+

2y

x

+

x

y

≥3+2

2y x • x y

=3+2

2

，當且僅當

2y

x

=

x

y

即x=

2

y，又x+2y=1，
∴這時

x= 2 -1 y= 2- 2 2

點評：本題考查利用基本不等式求函數的最值時，要注意需要考慮的條件：一正；二定；三相等．