Question

一次研究性課堂上，老師給出函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，甲、乙、丙三位同學在研究此函數時分別給出命題：
甲：函數f（x）的值域為（-1，1）；
乙：若x₁≠x₂則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若規定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f₁（x）），則f_n（x）=

x

1+nx

，對任意的n∈N^*恒成立
你認為上述三個命題中正確的個數有（　　）

• A、3個
• B、2個
• C、1個
• D、0個

Answer 1

分析：利用奇函數的定義判斷出f（x）為奇函數，通過對x的分段討論去掉絕對值轉化為分段函數，討論x≥0的值域、單調性判斷出甲、乙說的對利用已知的遞推關系求出f_n（x），判斷出丙的說法不對．

解答：解：∵f（-x）-f（x）
∴f（x）為奇函數
∵f(x)=

x

1+|x|

= 

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)
∵f（x）為奇函數，
∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）
總之，f（x）∈（-1，1）
故甲對
當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)為增函數，
∵f（x）為奇函數
∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）為增函數
所以f（x在（-1，1）上為增函數
故乙對
f_n（x）=f（f₁（x））=f（f（x）=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

=

x

1+nx

不恒成立
故丙不對
故選B

點評：通過對自變量分段討論將含絕對值的函數轉化為分段函數，解決分段函數的性質問題一般分段討論研究．