Question

已知函數f(x)=（a^x-a^-x） (a＞0，且a≠1).
(1)判斷f(x)的單調性；
（2）驗證性質f(-x)=-f(x),當x∈(-1,1)時，并應用該性質求滿足f(1-m)+f(1-m²)＜0的實數m的范圍.

Answer 1

（1）f(x)在R上為增函數（2）1＜m＜

（1）設x₁＜x₂,x₁-x₂＜0,1+＞0.
若a＞1,則, ＞0,
所以f(x₁)-f(x₂)=＜0，
即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在（-∞,+∞）上為增函數；
同理，若0＜a＜1，則,＜0,
f(x₁)-f(x₂)=(1+)＜0,
即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在（-∞,+∞）上為增函數.
綜上，f(x)在R上為增函數.
（2）f(x)=則f(-x)=,
顯然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m²)＜0,
即f(1-m)＜-f(1-m²)f(1-m)＜f(m²-1),
函數為增函數，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m²-1＜1,可得1＜m＜.