Question

【題目】若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a、b∈R）滿足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區間[﹣1，﹣1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=1得，c=1．∴f（x）=ax2+bx+1

又f（x+1）﹣f（x）=2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x，

即2ax+a+b=2x，

∴ ，解得

∴f（x）=x2﹣x+1

（2）解：f（x）＞2x+m等價于x2﹣x+1＞2x+m，即x2﹣3x+1﹣m＞0，

要使此不等式在[﹣1，﹣1]上恒成立，只需使函數g（x）=x2﹣3x+1﹣m在[﹣1，﹣1]的最小值大于0即可．

∵g（x）=x2﹣3x+1﹣m在[﹣1，﹣1]上單調遞減，

∴g（x）min=g（1）=﹣m﹣1，

由﹣m﹣1＞0，得m＜﹣1

∴實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣1）

【解析】（1）由f（0）=1，求出c=1，根據f（x+1）﹣f（x）=2x，通過系數相等，從而求出a，b的值；（2）f（x）＞2x+m等價于x2﹣x+1＞2x+m，即x2﹣3x+1﹣m＞0，要使此不等式在[﹣1，﹣1]上恒成立，只需使函數g（x）=x2﹣3x+1﹣m在[﹣1，﹣1]的最小值大于0即可，求出g（x）的最小值即可．