Question

在直角坐標系中，A （1，t），C（-2t，2），

OB

=

OA

+

OC

（O是坐標原點），其中t∈（0，+∞）．
（1）求四邊形OABC在第一象限部分的面積S（t）；
（2）確定函數S（t）的單調區間，并求S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據題意可判定四邊形OABC的形狀，然后討論A在第一象限，B在第一象限，C在第二象限，然后利用S（t）=S_OABC-S_△OKC進行求解，A在第一象限，B在y軸上或在第二象限，C在第二象限，根據S（t）=S_△OAM進行求解，最后利用分段函數表示即可；
（2）分別在每一段區間上利用導數符號判定函數的單調性，再根據單調性求出函數求S（t）的最小值．

解答：解：（1）∵

OB

=

OA

+

OC

，∴OABC為平行四邊形，
又∵

OA

•

OC

=0，∴OA⊥OC，∴四邊形OABC為矩形．
∵

OB

=

OA

+

OC

=（1-2t，2+t），
當1-2t＞0，即0＜t＜

1

2

時，
A在第一象限，B在第一象限，C在第二象限，（如圖1）
此時BC的方程為：y-2=t（x+2t），
令x=0，得BC交y軸于K（0，2t²+2），
∴S（t）=S_OABC-S_△OKC=2（1-t+t²-t³）．
當1-2t≤0，即t≥

1

2

時，
A在第一象限，B在y軸上或在第二象限，C在第二象限，（如圖2）
此時AB的方程為：y-t=-

1

t

（x-1），令x=0，得AB交軸于M（0，t+

1

t

），
∴S（t）=S_△OAM=

1

2

(t+

1

t

)．
∴S（t）=

2(1-t+t2-t3)，(0＜t＜ 1 2 ) 1 2 (t+ 1 t )，(t≥ 1 2 ).

（2）當0＜t＜

1

2

時，S（t）=2（1-t+t²-t³），S′（t）=2（-1+2t-3t²）＜0，
∴S（t）在（0，

1

2

）上是減函數．
當t≥

1

2

時，S（t）=

1

2

(t+

1

t

)，S′（t）=

1

2

(1-

1

t2

)，
∴S（t）在[

1

2

，1]上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．
∴當t=1時，S（t）有最小值為1．

點評：本題主要考查了函數的解析式，同時考查了函數的單調性和最值的求解，屬于中檔題．